|
|
|
|
Сборник задач, теоретическая механика Мещерский
| | |
|
ГЛАВА II
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 6. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке
6.1 (210). Угловой столб составлен из двух одинаково наклоненных брусьев АВ и АС, скрепленных в вершине посредством шарнира. Угол ВАС = 30°. Столб поддерживает два горизонтальных провода AD и АЕ, составляющих между собой прямой угол. Натяжение
каждого провода равно 100 кГ. Определить усилия в брусьях, предполагая, что плоскость ВАС делит пополам угол DAE, и пренебрегая весом брусьев.
6.2 (211). Горизонтальные провода телеграфной линии подвешены
к телеграфному столбу АВ с подкосом АС и составляют угол
DAE = 90°. Натяжение проводов AD и АЕ соответственно равны
120 н и 160 н. В точке А крепление шарнирное. Найти угол а
между плоскостями ВАС и ВАЕ, при котором столб не испытывает
бокового изгиба, и определить усилие £ в подкосе, если он поставлен под углом 60° к горизонту. Весом столба и подкоса пренебречь.
6.3(212). Груз поддерживается брусом АО, шарнирно закрепленным в точке А и наклоненным под углом 45°
6.4 (213). Найти усилия 5i и ^ в стержнях АВ и АС и усилие Т
в тросе ADy если дано, что = 2.8СА = 60°, = 3Q°.
Вес груза Р равен 300 кГ. Плоскость ABC горизонтальна. Крепления стержней в точках А, В и С шарнирные.
6.5 (214). Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, поддерживающих груз Q весом 42 кГ если см, ЛС = 80 см,
AD = 60 см, плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V и W вертикальны. Крепление в точке В шарнирное.
6.6 (215). Определить усилия в тросе АВ и в стержнях АС и AD, поддерживаю-
щих груз Q весом 180 н, если АВ = 170 см,, AC = AD =
= 100 см, CD= 120 с CK = KD и плоскость ДС/М
горизонтальна. Крепления стержней в точках А, С и D
шарнирные.
6.7 (216). Переносный кран,
поднимающий груз Q весом 2 т,
устроен так, как указано на чертеже; АВ = АЕ = AF=2 м\ угол
EAF=90°,. плоскость крана ABC делит прямой двугранный угол
EABF пополам. Определить силу Ри сжимающую вертикальную стойку
АВ, а также силы Ръ> Р9 и Р4, растягивающие струну ВС и тросы
BE и BF, пренебрегая весом частей крана.
6.8 (217). Груз Q весом 1 т подвешен в точке D, как указано
на чертеже. Крепления стержней в точках Л, В и О шарнирные.
Определить реакции опор А, В
и С.
6.9 (218). Воздушный шар,
удерживаемый двумя тросами,
находится под действием ветра.
Тросы образуют между собой
прямой угол: плоскость, в которой они находятся, составляет с
плоскостью горизонта угол 60°.
Направление ветра перпендикулярно к линии пересечения этих
плоскостей и параллельно поверхности земли. Вес шара и
заключенного в нем газа 250 кГ объем шара 215,4 м9, вес 1 м3
воздуха 1,3 кГ. Определил» натяжения Тх и Т2 тросов и равнодействующую Р сил давления вегра на шар, считая, что линии
действия всех сил, приложенных к шару, пересекаются в центре шара.
6.10 (220). На чертеже изобра-
жена пространственная ферма, со-
ставленная из шести стержней /,
2, 3, 4, 5, 6. Сила Р действует
на узел А в плоскости прямо-
угольника ABCD; при этом ее
линия действия составляет с вер-
тикалью С А угол 45°. ЕАК=&FBM. Углы равнобедренных тре-
угольников ЕАК, FBM и NDB при вершинах А, В и D прямые.
Определить усилия в стержнях, если Р = 1 т.
6.11 (221). Определить усилия в вертикальной стойке и в ногах
крана, изображенного на чертеже, в зависимости от угла а, если
дано: АВ = ВС = AD = АЕ. Крепления в точках А, B,D и Е шарнирные.
6.12 (222). Угловой столб АВ, поддерживающий воздушный кабель,
удерживается двумя оттяжками АС и AD, причем CBD = 90°.
Определить усилия в столбе и оттяжках в зависимости от угла
образованного одной из двух ветвей кабеля с плоскостью СВ А. Ветви
кабеля горизонтальны и взаимно перпендикулярны, натяжения в них
одинаковы и равны Т.
6.13 (223). Мачта АВ удерживается в вертикальном положении
посредством четырех симметрично расположенных оттяжек. Угол
между каждыми двумя смежными оттяжками равен 60°. Определить
давление мачты на землю, если натяжение каждой из оттяжек равно
100 кГ, а вес мачты 200 кГ.
6.14 (224). Четыре ребра АВ, AC, AD и АЕ правильной пятиугольной пирамиды изображают по величине и направлению четыре
силы в масштабе: 1 н в 1 м. Зная высоту пирамиды ЛО= 10 м и
радиус круга, описанного около основания, ОС = 4,5 м, найти равнодействующую R и расстояние х от точки О до точки пересечения
равнодействующей с основанием.
6.15 (225). К вершине В треножника ABCD подвешен груз ,
вес которого 10 кГ. Ножки имеют равную длину, укреплены на горизонтальном полу и образуют между собой равные углы. Определить усилие в каждой из ножек,
если известно, что они образуют
с вертикалью BE углы в 30°. | |
6.16 (226). Найти усилия £ в ногах AD, DD и CD треноги, образующих углы в 60° с горизонтальной плоскостью, если вес Р
равномерно поднимаемого груза
равен 3 г. При этом АВ = ВС = АС.
6.17 (227). Для подъема из
шахты груза Р весом 3 т установлены тренога A BCD и лебедка Е. Определить усилия в ногах треноги при равномерном поднятии груза, если треугольник ABC
равносторонний и углы, образованные ногами и тросом DE с горизонтальной плоскостью, равны 60°. Расположение лебедки по отношению к треноге видно из чертежа.
6.18 (228). На гладком полу стоит трехногий штатив; нижние
концы его ножек связаны шнурами так, что ножки и шнуры штатива
образуют правильный тетраэдр. К верхней точке штатива подвешен
груз весом Р. Определить реакцию пола R в точках опоры и натяжение шнуров Ту выразив искомые величины через Р.
6.19 (229). Решить предыдущую задачу в том случае, когда ножки
штатива связаны шнурами не в концах, а в серединах, принимая при
этом во внимание, что вес каждой ножки равен р и приложен к ее
середине.
6.20 (230). Три однородных шара Л, В и С одинаковых радиусов
положены на горизонтальную плоскость, взаимно прикасаются и обвязаны шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости, а четвертый шар О того же радиуса и также однородный, весом 10
лежит на трех нижних. Определить натяжение шнура Т, вызываемое
давлением верхнего шара. Трением шаров между собою и с горизонтальной плоскостью пренебречь.
6.21 (231). В точках А, В и С, лежащих на прямоугольных координатных осях на одинаковом расстоянии I от начала координат О,
закреплены нити: AD=BD=CD — L, связанные в точке Д координаты которой
В этой точке подвешен груз Q. Определить натяжение нитей Та>Тв и Тс9 предполагая, что
§ 7. Приведение системы сил к простейшему виду
7.1 (232). К вершинам куба приложены по направлениям ребер
силы, как указано на чертеже. Каким условиям должны удовлетворять
силы , чтобы они находились в равновесии?
7.2 (233). По трем непересекаюшимся и непараллельным ребрам
прямоугольного параллелепипеда действуют три равные силы Р. Какое
соотношение должно существовать между ребрами а, b и с, чтобы
эта система приводилась к одной равнодействующей?
7.3 (234). К четырем вершинам Л, Н, В и D куба приложены
четыре равные силы: Plz=Pi = р9 = pi=z Р, причем сила Р направлена по HF, Р3 — по BE и Р—по DQ. Привести эту
систему к простейшему виду.
7.4 (236). К правильному тетраэдру ABCD, ребра которого
равны я, приложены силы: F по ребру АВ, F по ребру CD и Fа
в точке Е — середине ребра BD. Величины сил Ft и F* какие угодно,
а проекции силы F на оси х, у и z равны
Приводится ли эта система сил к одной равнодействующей?
Если приводится, то найти координаты х и z точки пересечения
линии действия равнодействующей с плоскостью Oxz.
7.5 (236). К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см,
приложены, как указано на чертеже, шесть равных сил, по 2 н
каждая. Привести эту систему к простейшему виду.
7.6 (237). Систему сил: Ях = 8 кГ, направленную по Oz, и
, направленную параллельно Оу, как указано на чертеже,
где ОЛ = 1,3 л, привести к каноническому виду, определив величину
главного вектора V всех этих сил и величину их главного момента М
относительно произвольной точки, взятой на центральной винтовой
оси. Найти углы а, р и у, составляемые центральной винтовой осью
с координатными осями, а также координаты х и у точки встречи ее с плоскостью Оху.
7.7 (238). Три силы лежат в координатных плоскостях и параллельны осям координат, но могут быть
направлены как в ту, так и в другую
сторону. Точки их приложения А, В и С находятся на заданных расстояниях а, b и с от начала координат. Какому условию должны
удовлетворять величины этих сил, чтобы они приводились к одной
равнодействующей? Какому условию должны удовлетворять величины
этих сил, чтобы существовала центральная винтовая ось, проходящая через начало координат?
В первом ответе Pv Р2 и Р3—алгебраические величины сил.
7.8 (239). К правильному тетраэдру A BCD с ребрами, равными а,
приложена сила Fx по ребру А В и сила Гг по ребру CD. Найти
координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси
с плоскостью Оху.
7.9 (240). По ребрам куба, равным а, действуют двенадцать равных сил Р, как указано на чертеже. Привести эту систему сил
к каноническому виду и определить координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху.
7.10 (241). По ребрам прямоугольного параллелепипеда, соответственно равным 10 м, 4 м и 5 м, действуют шесть сил, указанных
на чертеже:
Рв = 8 н. Привести эту систему
сил к каноническому виду и определить координаты х и у точки
пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху.
7.11. Равнодействующие Р= 8000 т и 5200 т сил давления воды на плотину приложены в средней вертикальной плоскости
перпендикулярно к соответствующим граням на расстоянии
и Л = 2,4 м от основания. Сила веса Gl=12 000 г прямоугольной
части плотины приложена в ее центре, а сила веса G2 = 6000 т
треугольной части —на расстоянии одной трети длины нижнего
основания треугольного сечения от вертикальной грани этого сечения. Ширина плотины в основании 6=10 м, в верхней части
а=5 л; tga . Определить равнодействующую распределенных
сил реакции грунта, на котором установлена плотина.
7.12. Все радиомачты с бетонным основанием 0=14 г. К мачте
приложены сила натяжения антенны Г=2 г и равнодействующая сил
давления ветра Р=5 т; обе силы горизонтальны и расположены
во взаимно перпендикулярных плоскостях; /У=15 м, Л = 6 м. Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты.
| |
§ 8. Равновесие произвольной системы сил
8.1. На круглой наклонной площадке, которая может вращаться
вокруг оси ACD, наклоненной к вертикали под углом 20°, укреплено в точке В тело весом 400 кГ. Определить вращающий момент,
создаваемый силой тяжести тела, если радиус С = 3 м в данный
момент горизонтален.
Ответ: 410 кГ м.
8.2 (243). Ветряной двигатель имеет четыре крыла, наклоненных
под углом а= 15° = arcsin 0,259 к плоскости, перпендикулярной
к оси вращения; равнодействующая сил давления ветра на каждое
крыло равна 100 кГ, направлена по перпендикуляру к плоскости
крыла и приложена в точке, отстоящей на 3 м от оси вращения.
Найти вращающий момент.
Ответ: 311 кГм.
8.3 (244). Электродвигатель, помещенный на оси О колесного
ската трамвайного вагона, стремится повернуть ось против часовой
стрелки, причем величина
момента вращающей пары
сил (Р, Р) равна 600 кГм а радиус колес 60 см.
Определить силу тяги Q
колесного ската, предполагая, что он стоит на горизонтальных рельсах.
Сначала находим сумму
сил трения между колесами
и рельсами, взяв моменты сил относительно оси О. Затем проектируем все
силы, приложенные к колесному скату, на горизонтальное направление.
8.4 (245). К окружностям трех дисков: А радиуса 15 см, В радиуса 10 см и С радиуса 5 см приложены пары сил; величины сил,
составляющих пары, соответственно равны Р, = 10 н, Р4 = 20 к и Р.
Оси ОА, ОВ и ОС лежат в одной плоскости; угол АОВ прямой.
Определить величину силы Р и угол £ОС = а так, чтобы система
трех дисков, будучи совершенно свободной, оставалась в равновесии.
8.5 (246). Подъемный кран установлен на трехколесной те-
лежке ЛВС. Известны размеры крана: AD = DB= 1 м, CD=,5 м,
СМ =1 мУ KL = 4 м. Кран уравновешивается противовесом F. Вес
крана с противовесом равен Р = 10 т и приложен в точке О, лежащей в плоскости LMNF на расстоянии = 0,5 м от оси крана MN
поднимаемый груз Q весит 3 т. Найти давление колес на рельсы
для такого положения крана, когда плоскость его LMN параллельна АВ.
8.6 (247). Временный подъемный кран состоит из пирамиды
с горизонтальным основанием в виде равностороннего треугольника ABC и с вертикальной гранью в виде равнобедренного треугольника ADB; в точках О и D шарнирно закреплена вертикальная
ось крана, вокруг которой
может вращаться стрела 0£,
несущая груз Р. Основание
ABC прикреплено к фундаменту подшипниками А и В и
вертикальным болтом С. Определить реакции опор при рас-
положении стрелы в плоскости
симметрии крана, если вес
груза Р = 1200 кГ, вес крана
Q = 600 к Гу причем расстояние его центра тяжести 5 ст
оси OD равно h = I м, а =
= 4 Му Ь=- 4 м.
8.7 (248). Крышка светового машинного люка удерживается в горизонтальном положении стойкой FO, упирающейся в крышку в точке F
на расстоянии £5=1,5 м от оси крышки. Вес крышки Р=180яГ;
длина ее CD = 2,3 м ширина’ СЕ= 0,75 м, а расстояния шарниров А и В от краев
крышки АЕ = ВС = 0,15 м. Найти реакции
шарниров А и В и усилие 5 в стойке FO.
8.8 (249). Однородная прямоугольная пластинка ABCD, опираясь
на три точечные опоры, две из которых расположены в вершинах
прямоугольника А и В, а третья — в некоторой точке Е, удерживается в горизонтальном положении. Вес пластинки равен Р. Давления на опоры в точках А и В соответственно равны
Найти давление NE на опору в точке Е и координаты этой точки,
если длины сторон пластинки равны а и Ь.
8.9 (250). Стол стоит на трех ножках, конны которых Л, В и С
образуют равносторонний треугольник со стороной о. Вес стола
равен Р, причем центр тяжести его расположен на вертикали zOOv
проходящей через центр (¾ треугольника АБС. На столе помещен
груз р в точке М, координаты которой х и у; ось Оу параллельна АВ. Определить давление каждой ножки на пол.
8.10 (251).Круглый стол стоит на трех ножках Л,, Л2 и Л8;
в центре О помещен груз. Какому условию должны удовлетворять
центральные углы <рь <р2 и <р3 для
того, чтобы давления на ножки
Л,, Л2 и Л3 относились, как
При решении задачи берутся моменты сил относительно двух из радиусов ОА ft ОА.2 и ОА3.
8.11 (262). Круглая пластинка; весом которой пренебрегаем,
покоится в горизонтальном положении, опираясь центром на острие О.
Не нарушая равновесия, по окружности
пластинки разместили грузы: Рх весом
1,5 к Г, Р2 весом 1 к Г и Р3 весом 2 кГ.
Определить углы аир.
8.12 (253). Ременный шкив CD динамо-машины имеет радиус 10 см; размеры вала АВ указаны на чертеже. Натяжение верхней ведущей ветви ремня
7^=10 кГ, нижней ведомой 7'2 = 5 кГ.
Определить вращающий момент М и реакции подшипников А и В й случае равномерного вращения, пренебрегая весом частей машины; (Р, Р) —пара,
образуемая силами сопротивления.
| |
8.13 (264). На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках А
и В, действуют: с одной стороны вес тела Q = 25 к Г, привязанного
к шкиву С радиуса 20 см посредством троса, а с другой стороны
вес тела Р=100 кГ, надетого на стержень DE, неизменно скреп-
ленный с валом АВ под прямым углом. Даны расстояния: АС = 20 см,
CD = 70 см, BD= 10 см. В положении равновесия стержень DE
отклонен от вертикали на угол 30°. Определить расстояние центра
тяжести тела Р от оси вала АВ и реакции подшипников А и В.
8.14 (266). На горизонтальный вал АВ насажено зубчатое колесо С
радиуса 1 м и шестерня D радиуса 10 см. Другие размеры указаны
на чертеже. К колесу С по направлению касательной приложена
горизонтальная сила Р=10 к Г, а к шестерне D, также по касательной, приложена вертикальная сила Q. Определить силу Q и реакции
подшипников А и В в положении равновесия.
8.16 (256). Рабочий равномерно поднимает груз Q=80 к Г
с помощью ворота, схематически
изображенного на чертеже; радиус
барабана R = 5 см; длина рукоятки АК = 40 см; АС — СВ —
= 50 см. Определить давление Р
на рукоятку и давления оси ворота на опоры А и В при том
положении ворота, когда рукоятка АК горизонтальна; сила Р вертикальна.
8.16. (257). С помощью ворота, схематически изображенного на
чертеже, осуществляется равномерный подъем груза Q=100 кГ.
Радиус барабана R = 5 см. Длина рукоятки KD = 40 см AD = 30 см,
ЛС = 40 см\ СВ = 60 сж. Веревка сходит с барабана по касательной, наклоненной к горизонту под углом 60°. Определить давление Р
на рукоятку и реакции опор
А и В при том положении
ворота, когда рукоятка KD
горизонтальна.
8.17 (258). На вал АВ
ворота намотана веревка,
поддерживающая груз Q.
Радиус колеса С, насаженного на вал, в шесть раз
больше радиуса вала; другие размеры указаны на чертеже. Веревка,
намотанная на окружность колеса и натягиваемая грузом Р весом
6 кГ, сходит с колеса по касательной, наклоненной к горизонту под
углом а = 30°. Определить вес груза Q, при котором ворот остается
в равновесии, а также реакции подшипников А и В, пренебрегая
весом вала и трением на блоке А
8.18 (259). Для измерения силы, передаваемой ременным шкивом А шкиву В, служит динамометр, схематически изображенный
на чертеже. Шкивы А и В свободно вращаются на неподвижной
оси 00 шкив А составляет одно целое с зубчаткой С, а шкив В —
с зубчаткой D. Эти две зубчатки сцепляются с зубчатками Е и F,
свободно вращающимися вокруг вертикальной оси LLt. Диаметры
зубчаток Су Dy Е и Е одинаковы, каждый по 20 см. Момент силы,
вращающей шкив АУ 1200 кГсм равен моменту силы, тормозящей
шкив В. Ось LL удерживается от вращения вокруг оси 00 пружинными весами Р, прикрепленными к неподвижной точке К* Найти
давления, оказываемые зубчатками Е и F на ось LLlt и определить показание Я весов, если IE=50 см, направление LK перпендикулярно к плоскости OLOt.
| |
8.19 (260). Однородная прямоугольная крышка весом Р = 40 н
удерживается приоткрытой на 60° над горизонтом противовесом Q.
Определить, пренебрегая трением на блоке D, вес Q и реакции шарниров А и В, если блок D укреплен на одной вертикали с А и
AD = AC.
8.20 (261). Однородная прямоугольная крышка ABCD ящика
может вращаться вокруг горизонтальной оси АВ на петлях в точках
А и В. Горизонтальная веревка СЕ, параллельная Ах, удерживает
крышку под углом DAx = 3Q°. Определить реакции в петлях, если
вес крышки 2 кГ.
8.21 (262). Крышка прямоугольного ящика ABCD подперта с одной
стороны палочкой DE. Вес крышки 12 кГ AD — AE; угол DAE—60°.
Определить реакции шарниров А и В, а также усилие 5 в палочке,
пренебрегая ее весом.
8.22 (263). Фрамуга ABDC весом' Q= 10 кГ открыта на угол
а = 60°. Дано: BD = ВН\ СЕ—ED; веревка EF параллельна прямой
DH. Определить усилие Р, необходимое для удержания фрамуги
в равновесии, и реакции петель А и В.
8.23 (264). Разводная часть ABCD моста весом 1500 кГ поднята
цепью СЕ, перекинутой через блок Е на лебедку К. Точка Е находится
в вертикальной плоскости СВу% Определить для изображенного на
чертеже положения натяжение цепи СЕ и реакции
в точках А и В. Центр
тяжести разводной част совпадает с центром прямоугольника ABCD.
8.24 (266). Однородная прямоугольная рама весом 20 н прикреплена
к стене при помощи шарового шарнира А и петли В и удерживается в
горизонтальном положении веревкой СЕ, привязанной в точке С рамы
и к гвоздю Е, вбитому в
стену на одной вертикали
с А, причем £ЕСА=30°. Определить натяжение веревки и опорные реакций.
8.25 (266). Полка ABCD вагона, которая может вращаться вокруг
оси АВ, удерживается в горизонтальном положении стержнем ED,
прикрепленным при помощи шарнира Е к вертикальной стене ВАЕ.
Вес полки и лежащего на ней груза Р равен 80 кГ и приложен
в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Даны размеры:
АВ = 150 см\ AD = 60 см; АК =
= ВН= 25 см. Длина стержня
ED = 75 см. Определить усилие 5
в стержне ED, пренебрегая его
весом, и реакции петель К и Н.
8.26 (267). Квадратная однородная пластинка ABCD со стороной
л = 30 см и весом Р = 5 кГ закреплена в точке А при помощи
шарового шарнира, а в точке В при помощи цилиндрического
шарнира. Сторона АВ горизонтальна. В точке Е пластинка опирается
на острие. В точке Н на пластинку действует сила F параллельно
стороне АВ. Найти реакции в точках Д
В и Еу если CE = ED, £//=10 см,
F=10 кГ и пластинка образует с горизонтальной плоскостью угол а = 30°.
8.27 (268). Однородная горизонтальная плита весом Р, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, прикреплена неподвижно к земле шестью прямо-
линейными стержнями. Определить усилия в опорных стержнях, обусловленные
весом плиты, если концы стержней прикреплены к плите и неподвижным устоям шаровыми шарнирами.
8.28 (269). Определить усилия в шести опорных стержнях, поддерживающих квадратную плиту ABCD, при действии горизонтальной
силы Р вдоль стороны AD. Размеры указаны на
чертеже.
8.29 (270). Прямоугольная дверь, имеющая вертикальную ось вращения АВ, открыта на угол
CAD = 60° и удерживается в этом положении
двумя веревками, из которых одна, CD, перекинута
через блок и натягивается грузом Р = 32 кГ, другая, EF, привязана к точке F пола. Вес двери
64 к Г; ее ширина AC = AD= 18 дм; высота АВ =
= 24 дм. Пренебрегая трением на блоке, определить натяжение Т веревки EF, а также реакции
цилиндрического шарнира в точке А и подпятника в точке В.
|
|
|
|
|
