|
|
|
|
Сборник задач, теоретическая механика Мещерский
| | |
| |
8.30 (272). Стержень АВ удерживается в наклонном положении
двумя горизонтальными веревками AD и ВС. При этом в точке А
стержень опирается на вертикальную стену, на которой находится
и точка Дав точке В —на горизонтальный пол. Точки Л и С
лежат на одной вертикали. Вес стержня 8 н.
Трением в точках А и В пренебрегаем. Проверить, может ли стержень оставаться в равновесии, и определить натяжения ТА и Тв веревок и реакции опорных плоскостей, если АВС= ВСЕ=60°.
8.31 (273). Пара сил, вращающая водяную
турбину Т и имеющая момент 120 кГм, уравновешивается давлением на зубец В конического
зубчатого колеса ОВ и реакциями опор. Давление на зубец перпендикулярно к радиусу ОВ = 0,6 м и составляет с горизонтом угол
a= 15° = arctg 0,268. Определить реакции подпятника С и подшипника А, если вес турбины с валом и колесом равен 1,2 т и направлен вдоль оси ОС, а расстояния ЛС = 3 м, ЛО = 1 м.
8.32 (274). Ветряной двигатель с горизонтальной осью АС имеет
четыре симметрично расположенных крыла, плоскости которых
составляют с вертикальной плоскостью, перпендикулярной к оси АС,
равные углы 30°. На расстоянии 2 м от оси к каждому крылу
приложена нормально к его плоскости равнодействующая сил давления ветра, равная 120 кГ (крыло D в проекции на плоскость ху
изображено отдельно). Ось двигателя опирается в точке А на полшипник, в точке С — на подпятник и удерживается в покое вертикаль-
ным давлением Р на зубец колеса В, производимым не показанной
на чертеже шестерней. Радиус колеса В равен 1,2 м\ расстояния:
jBC=0,5 м, АВ= I м, AF — 0,o м. Определить давление Р и реак-
ции опор в двух случаях: 1) когда ветер давит на все четыре крыла
и 2) когда крыло D снято, а линия DE
вертикальна.
8.33 (276). Однородный прямоугольный навес, сторона АВ которого горизонтальна, наклонен к горизонту под углом 30°. Навес соединен шаровым шарниром А со столбом / и цилиндрическим
шарниром В со столбом; кроме того,
навес свободно опирается в точке С на
наклонную поверхность столба 111. Даны
размеры: а — Ъ лг, d = 6 м; Ь = 2 м.
Вес 1 м2 навеса равен 20 кГ. Навес
находится под равномерно распределенным давлением ветра в 50 кГ
на I м2 поверхности навеса, направленным под углом 15° к горизонту
и действующим в вертикальной плоскости, составляющей с осью Ау
угол 30°. Определить опорные реакции.
8.34 (276). Груз Q равномерно поднимается мотором М посредством бесконечной цепи. Определить реакции
опор А и В и натяжения в цепи, если
ветви цепи наклонены к горизонту
под углами 30° (ось 01х1 параллельна
оси Ах). Известно, что г = 10 см,
= 20 см, Q=1 г; натяжение ведущей части цепи вдвое больше
натяжения ведомой части, т. е. 7'1 = 27'2.
8.35 (277). Для подъема копровой бабы весом Р = 300 кГ
служит вертикальный ворот, вал которого радиусом г = 20 см
опирается нижним концом на подпятник А, а верхним концом удерживается в подшипнике В. Вал приводится во вращение мотором.
Найти необходимый для равномерного подъема копровой бабы
вращающий момент мотора, а также реакции в подпятнике А и подшипнике В. При этом дано:=1м,
h = 30 см и вес вращающихся частей
ворота Рх= 100 кГ.
8.36. Ворот, служащий для подъема
породы из наклонного шурфа, состоит
из вала радиусом 0,25м и длиной 1,5 м.
Вал приводится во вращение при помощи мотора (на рисунке не показан).
Определить реакции опор и вращающий момент Мшр мотора, если вес вала
равен 80 кГ, вес груза 400 кГ, коэффициент трения между грузом и поверхностью шурфа равен 0,5, угол наклона шурфа к горизонту равен 30°
и место схода троса с вала находится на расстоянии 50 см от подшипника В. Вращение вала считать равномерным.
8.37(280). Горизонтальный вал трансмиссии, несущий два шкива
С и D ременной передачи, может вращаться в подшипниках А и В.
Радиусы шкивов: расстояния шкивов от
подшипников: а = Ь = 50 см расстояние между шкивами с =100 см.
Натяжения ветвей ремня, надетого на шкив С, горизонтальны и имеют
величины Ti и tit причем 7'1 = 2^ = 500 к Г; натяжения ветвей ремня,
надетого на шкив Д образуют с вертикалью угол а = 30° и имеют
величины Г % и tb причем Га = 2/*. Определить натяжения Т9 и
в условиях равновесия и реакции подшипников, вызванные натяжениями ремней.
8.38 (281). Давление шатуна двигателя, сосредоточенное в середине ;
D шейки коленчатого вала, равно Р = 2000 кГ и направлено под
углом 10° к горизонту, причем плоскость ODOu проходящая через
оси вала 00\ и шейки Д образует с вертикалью угол 30°. От маховика усилие передается на завод канатом, ветви которого параллельны
и наклонены к горизонту под углом 30°. Действие силы Р уравновешивается натяжениями Tut ветвей каната и реакциями подшипников А и В. Вес маховика 1300 кГ,
диаметр его d = 2M, сумма натяжений ветвей каната
= 750 кГ, а указанные на чертеже расстояния равны: точки О
от оси 00% г =125 мм, 1=
= 250 мм, т. = 300 мм, п =
= 450 мм. Определить реакции
подшипников А и В и натяжения t и Т.
8.39 (282). Для передачи вращения с одного вала на другой,
ему параллельный, установлены
два одинаковых вспомогательных шкива, заклиненных на горизонтальной оси KL. Ось может вращаться в подшипнике М, укрепленном на колонке MN. Треугольное основание этой колонки притянуто к полу двумя болтами А и В и свободно опирается точкой С. Болт А
проходит через круглое отверстие в основании, болт же В — через
продолговатое отверстие, имеющее направление линии АВ. Ось ко-
лонки проходит через центр треугольника ЛВС.
Определить реакции в точках А, В и С, если расстояние оси KL
от пола равно 1 м, расстояния середин шкивов от оси колонки
равны 0,5 м и натяжения всех четырех ветвей ремней принимаются
одинаковыми и равными 60 кГ. Ветви правого ремня горизонтальны,
а ветви левого наклонены к горизонту под углом 30°. Вес всей
установки равен 300 кГ и приложен к точке, лежашей на
оси колонки; даны размеры:
АВ = ВС = СА = Ъ0 см.
8.40(283). Подвеска ременного шкива D прикреплена
к гладкому горизонтальному
потолку MN подшипниками в
точках А и С и упирается в
него точкой В. Эти точки лежат в вершинах равностороннего треугольника ABC со стороной 30 см. Положение центра
ременного шкива D определяется вертикалью EF= 40 см, опущенной из центра Е треугольника ABC, и горизонталью FD—50 см, параллельной стороне АС.
Плоскость шкива перпендикулярна к прямой FD. Натяжение Р каждой ветви ремня равно 120 кГ и наклонено к вертикали под углом 30°.
Определить реакции в опорах А, В и С, пренебрегая весом частей.
8.41 (284). Картина в раме, имеющей форму прямоугольника
ABCD, подвешена на вертикальной стене при помощи шнура EKF,
надетого на крюк К так, что край АВ горизонтален; точки Е, F—
середины сторон AD и ВС. Картина наклонена к стене под углом
ot==arctg и опирается на два гвоздя L и М, вбитых в стену,
причем AL = MB. Размеры картины: АВ=60 см, AD = 75 см вес
картины 20 кГ и приложен в центре прямоугольника ABCD; длина
шнура 85 см. Определить натяжение Т шнура и давления на гвозди
I и М.
8.42 (285). Бифиляр состоит из однородного стержня AAV подвешенного на двух нерастяжимых нитях длиной /, которые укреплены
ь точках В и Bv Длина стержня, а вес Р. Стержень повернут вокруг вертикальной оси на угол ч. Определить момент М
пары, которую нужно приложить к стержню, чтобы удержать его
в равновесии, а также натяжение Т нитей.
8.43. Бункер, имеющий вид треугольной призмы, прикреплен
к основанию шестью стержнями. Определить усилия в стержнях, возникающие от действия силы тяжести наполненного бункера 0 =
= 30 т и давления ветра на переднюю наклонную грань интенсивностью ¢ = 50 кГ/м. Размеры бункера: а = 4 м, £=12 м, И = 8 м.
8.44. Тренога ABDIS, имеющая форму правильной пирамиды,
укреплена шарнирно на двух консольных балках. Через блок, укрепленный в вершине Е треноги, перекинут трос, равномерно поднимаю-
щий с помощью лебедки груз веса Р. От блока к лебедке трос
тянется параллельно консоли. Определить реакции заделки первой
консоли, пренебрегая ее весом и весом треноги. Высота треноги
равна
| |
§ 9. Центр тяжести
9.1 (286). Определить положение центра тяжести С стержневого
контура AFBD, состоящего из дуги ADB четверти окружности
радиуса FD = R и из дуги полуокружности AFB, построенной на
хорде АВ как на диаметре. Линейные плотности стержней одинаковы.
9.2 (287). Определить положение центра тяжести С площади,
ограниченной полуокружностью АОВ радиуса R и двумя прямыми
равной длины AD и DB, причем OD = ZR.
9.3 (288). Найти центр тяжести С плошали кругового сегмента
ADB радиуса ДО = 30 см, если угол АОВ = 60°.
Ответ: ОС = 27,7 см.
9.4 (289). Определить положение центра тяжести однородного
диска с круглым отверстием, предполагая радиус диска равным
радиус отверстия равным г, и центр этого отверстия находящимся
на расстоянии от центра диска.
9.5. Определить координаты центра тяжести четверти кольца,
показанного на рисунке.
Ответ: хс =ус = 1,38 см.
9.6. Найти координаты центра тяжести фигуры, изображенной
на рисунке.
Ответ: ^гс = 0,61 а.
9.7. Найти центр тяжести поперечного сечения плотины, показанного на рисунке, принимая, что удельный вес бетона равен 2,4 т/дЛ
а земляного грунта 1,6 т/м9
9.8 (290). Найти координаты центра тяжести поперечного сечения
неравнобокого уголка, полки которого имеют ширину ОЛ = а, 08 = в
и толщину AC = BD = d.
9.9 (291). Найти расстояние центра тяжести таврового сечения
ABCD от стороны его АС, если высота тавра BD = h, ширина полки
А0=0, толщина полки равна d и толщина стенки равна Ь.
9.10 (292). Найти центр тяжести двутаврового профиля, размеры
которого указаны на чертеже.
Ответ: Хс = 9 см.
9.11 (293). Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, изображенной на чертеже, зная, что АН = 2 см, //0=1,5 см,
АВ = 3 см, ВС = 10 см, EF = 4 см, ED — 2 см.
9.12 (294). В однородной квадратной доске ABCD со стороной
АВ = 2 м вырезано квадратное отверстие EFQH, стороны которого
соответственно параллельны сторонам ABCD и равны 0,7 м каждая.
Определить координаты х и у центра тяжести оставшейся части
доски, зная, что ОК = 0\К = 0,5 м, где О и Ох — центры квадратов,
ОК и 0\К соответственно параллельны сторонам квадратов.
9.13 (295). Провести через вершину D однородного прямоугольника ABCD прямую DE так, чтобы при подвешивании отрезанной
по этой прямой трапеции ABED за вершину Е сторона AD, равная а,
была горизонтальна.
Ответ: BE = 0,366а.
9.14 (296). Дан квадрат ABDC, сторона которого равна а. Найти
внутри него такую точку Е, чтобы она была центром тяжести
площади, которая получится, если из квадрата вырезать равнобедрен-
ный треугольник АЕВ.
9.16 (297). Четыре человека несут однородную треугольную плас-
тину. Двое взялись за две вершины, остальные — за стороны, примыкаю-
щие к третьей вершине. На каком расстоянии от третьей вершины
они должны поместиться для того,
чтобы каждый из четырех поддер-
живал четверть полного веса пла-
стины?
Ответ: На расстоянии, равном
длины соответствующей стороны.
9.16 (298). Определить коорди-
наты центра тяжести системы грузов,
расположенных в вершинах прямо-
угольного параллелепипеда, ребра
которого соответственно равны:
АВ = 20 см, АС= 10 см, AD = b см. Веса грузов в вершинах А, В,
С, D, Е, F, О, И соответственно равны 1 кГ, 2 кГ, 3 кГ, 4 кГ, 5 кГ,
3 кГ, 4 кГ, 3 кГ.
Ответ: х==3,2 см\ _у = 9,6 см\ 2 = 6 см.
9.17 (299). Определить координаты центра тяжести контура прямо-
угольного параллелепипеда, ребра которого суть однородные бруски
длиной: ОЛ = 8 дм, ОВ = 4 дм, ОС =6 дм. Веса брусков равны
соответственно: О А — 250 н, О В, ОС и CD по 75 «; СО— 200 н\
AF—125 к, АО и OF по 50 н;
BD, BF, DE и EF по 25 н.
площади, которая получится, если из квадрата вырезать равнобедренный треугольник АЕВ.
9.16 (297). Четыре человека несут однородную треугольную пластину. Двое взялись за две вершины, остальные — за стороны, примыкающие к третьей вершине. На каком расстоянии от третьей вершины
они должны поместиться для того,
чтобы каждый из четырех поддерживал четверть полного веса пластины?
Ответ: На расстоянии, равном
длины соответствующей стороны.
9.16 (298). Определить координаты центра тяжести системы грузов,
расположенных в вершинах прямо-
угольного параллелепипеда, ребра
которого соответственно равны:
АВ = 20 см, АС= 10 см, AD = b см. Веса грузов в вершинах А, В,
С, D, Е, F, О, И соответственно равны 1 кГ, 2 кГ, 3 кГ, 4 кГ, 5 кГ,
3 кГ, 4 кГ, 3 кГ.
9.17 (299). Определить координаты центра тяжести контура прямоугольного параллелепипеда, ребра которого суть однородные бруски
длиной: ОЛ = 8 дм, ОВ = 4 дм, ОС =6 дм. Веса брусков равны
соответственно: О А — 250 н, О В, ОС и CD по 75 «; СО— 200 н
AF—125 к, АО и OF по 50 н;
BD, BF, DE и EF по 25 н.
9.18 (300).Найти координаты центра тяжести тела, имеющего
вид стула, состоящего из стержней одинаковой длины и веса. Длина
стержня равна 44 см.
9.19 (301).Найти координаты центра тяжести плоской фермы,
состоящей из семи стержней, длины которых указаны на чертеже,
если вес 1 м для всех стержней один и тот же.
9.20 (302). Найти координаты центра тяжести деревянно го молотка,
состоящего из прямоугольного параллелепипеда и ручки с квадратным сечением. Дано: а = 10 см; Ъ = 8 см; с = 18 см; d = 40 сл; 1 = 3 см.
9.21 (303). Корпус легкого крейсера весит 1900 т. Центр тяжести
корпуса находится по вертикали над килем на высоте; yi = 6 м.
После спуска на воду внутри корпуса установлены главные машины
и котлы. Главные машины весят 450 г, и ордината центра тяжести
их у%=3 м. Вес котлов равен 500 т, и ордината центра тяжести
их >»3 = 4,6 м. Определить ординату у с общего центра тяжести
корпуса, машин и котлов.
9.22 (304). На корабле водоизмещением в 4500 г груз весом
в 30 г перемещен из носового отсека в кормовой на» расстояние
60 м. Насколько переместился общий центр тяжести корабля и груза?
|
9.23 (305). Для однородного тетраэдра ABCDEF, усеченного
параллельно основанию, даны: площадь Л£С = д, площадь DEF = b,
расстояние между ними h.
Найти расстояние z центра тяжести данного усеченного тетраэдра от основания ABC.
9.24 (306). Корпус якорной подводной мины
имеет форму цилиндра с выпуклыми сферическими днищами. Радиус цилиндрического пояса г = 0,4 м, высота цилиндрического пояса = 2г; высоты сферических сегментов соответственно равны: = 0,5r и
0,2г. Найти центр тяжести поверхности корпуса мины.
9.25(307). Две половины круглого однородного цилиндра соединены нитью, перекинутой через цилиндр, к концам которой подвешены гири весом Р кГ каждая. Вес цилиндра Q кГ. Плоскость
соприкасания половин цилиндра вертикальна. Определить наименьшую величину Р веса гирь, при которой
обе половины цилиндра будут находиться в покое на
горизонтальной плоскости.
9.26(308). Найти предельную высоту h цилиндра,
при которой тело, состоящее из цилиндра и полушара
одинаковой плотности и одинакового радиуса г, теряет устойчивость
в положении равновесия, когда оно опирается поверхностью полушара на гладкую горизонтальную плоскость.
Центр тяжести всего тела должен совпадать с центром полушара. Рас-
стояние центра тяжести однородного полушара от его основания равно г.
9.27 (309). Найти предельную высоту h конуса, при которой
тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности и
радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия при условии
предыдущей задачи.
9.28. Тонкий однородный лист изогнут в виде двух треугольников и квадрата, как показано на рисунке: равнобедренный треугольник ОАВ лежит в плоскости ху, прямоугольный треугольник ODE —
в плоскости yz (вершина прямого угла — точка Е)у квадрат ОВКЕ —
в горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести
изогнутого листа.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ
КИНЕМАТИКА
ГЛАВА III
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 10. Траектория и уравнения движения точки
10.1. По данному уравнению движения точки на произвольно
выбранной траектории построить через равные промежутки времени
шесть положений точки, определить расстояние s по траектории от
начала отсчета до конечного положения точки и пройденный ею путь а
за указанный промежуток времени (s и о-в сантиметрах, в секундах)
10.2. Но данным уравнениям движения точки найти уравнения ее
траектории в координатной форме и указать на рисунке направление
движения
10.3. Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (Го и е — постоянные заданные векторы,
I и j—координатные орты):
Ответ: Полупрямая, проходящая через начальную точку параллельно вектору е.
Ответ: Отрезок прямой линии, проходящей через точку
Л4(г0) параллельно вектору е. Начальная точка Мо вторая
крайняя точка Mi. При t-+ со конец радиус-вектора пройдет
бесчисленное число раз через каждую точку траектории.
Ответ: Отрезок верхней части эллипса. Точка начинает движение от левой вершины эллипса, монотонно приближаясь
к его правой вершине.
10.4 (312). По заданным уравнениям движения точки найти
уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки
по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения
точки:
10.5 (313). Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно
уравнению лг=/; по крану катится в поперечном направлении тележка
согласно уравнению 1,5 (х и у—в метрах, t — в секундах).
Цепь укорачивается со скоростью и = 0,5 м/сек. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести
груза находился в горизонтальной плоскости Оху; ось Oz направлена
вертикально вверх.
Ответ: Траектория — прямая:
10.6 (314). Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, задается уравнениями л: = 3siny = 2cos2t (t — в секундах). Найти
уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения
точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после
начала движения момент времени th когда траектория пересечет
ось Ох.
10.7. При соответствующем выборе осей координат уравнения
движения электрона в постоянном магнитном поле определяются
равенствами
х = a sin kt, у = а cos kt, z = v£,
где a, k и v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности
магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить
траекторию электрона и закон движения его по траектории.
Ответ: Электрон движется по винтовой линии. Начальная точка
jc = 0, у = а, z = 0; шаг винта h= Закон движения электрона
по винтовой линии:
10.8. Гармонические колебания точки определяются законом
x = as[n(kt-\-i), где а^>0—амплитуда колебаний, к>0— круговая частота колебаний и —начальная фаза.
Определить центр колебаний ао, амплитуду, круговую частоту,
период 7', частоту колебаний в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (х—в сантиметрах, t — в секундах):
10.9 (310). Груз, поднятый на'упругом канате, колеблется согласно
уравнению = a*sin , где а — в сантиметрах, k в сек-1.
Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если
период колебаний равен 0,4 сек и в начальный момент jc0 = — 4 см.
Построить также кривую расстояний.
Ответ: а —А см\ k — or. сек"1.
10.10 (315). Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных
амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям:
*==asin(W+aX у = Ь sin (kt -)- £).
|
|
|
|
|
