|
|
|
|
Сборник задач, теоретическая механика Мещерский
| | |
|
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ГЛАВА I
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 1. Силы, действующие по одной прямой
1.1 (3). Две гири, в 10 я и 5 н, висящие на одной веревке,
укреплены на ней в разных местах, причем бдльшая гиря висит
ниже меньшей. Каково натяжение веревки?
Ответ:. 10 я и 15 н.
1.2 (5). Буксир тянет три баржи различных размеров, следующие одна за другой. Сила тяги винта буксира в данный
момент равна 1800 кГ. Сопротивление воды движению буксира
равно 600 кГ; сопротивление воды движению первой баржи —
600 кГ, второй баржи — 400 кГ и третьей — 200 кГ. Имеющийся
в распоряжении канат выдерживает безопасно растягиваю-
щую силу в 200 кГ. Сколько канатов надо протянуть от
буксира к первой барже, от первой ко второй и от второй к третьей, если движение — прямолинейное и равномерное?
Ответ: 6, 3 и 1 канат.
1.3 (6). Груз Q=30 н удерживается в равновесии при
помощи противовеса, прикрепленного к концу троса ABC,
перекинутого через блок. Вес троса 5 н. Определить, пренебрегая жесткостью троса, трением и радиусом блока,
вес Р и усилия Fa, F& растягивающие трос в его концах Л и С,
а также усилие F$ в среднем сечении В троса в случаях:
1)когда точки А и С находятся на одной высоте;
2)когда точка А занимает высшее положение;
3)когда точка А занимает низшее положение.
1.4 (7). На дне шахты находится человек весом 64 кГ; посредством каната, перекинутого через неподвижный блок, человек удерживает груз в 48 кГ. 1) Какое давление оказывает человек на дно шахты?
2) Какой наибольший груз он может удержать с помощью каната?
1.5 (8). Поезд идет по прямолинейному горизонтальному пути
с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 1200 г.
Какова сила тяги электровоза, если сопротивление движению поезда
равно 0,005 давления поезда на рельсы?
Ответ'. 6 т.
1.6. Пассажирский поезд состоит из электровоза, багажного вагона
весом 40 г и 10 пассажирских вагонов весом 50 т каждый. С какой
силой будут натянуты вагонные стяжки и какова сила тяги электровоза, если сопротивление движению поезда равно 0,005 его веса?
При решении задачи принять, что сопротивление движению распределяется между составом поезда пропорционально весу и что движение поезда равномерное.
Ответ: Сила тяги электровоза 2,7 г, Гц = 0,25 т, Т%0 —
= 2 • 0,25 г и т. д. (нижний индекс означает номер вагона, начиная
от электровоза).
§ 2. Силы, линии действия которых пересекаются
в одной точке
2.1 (И). В центре правильного шестиугольника приложены силы
1, 3, 5, 7, 9 и 11 направленные к его вершинам. Найти величину
и направление равнодействующей
и уравновешивающей.
Ответ: 12 я; направление
уравновешивающей противоположно направлению заданной силы
в 9«,
2.2 (12). Определить усилие,
передаваемое листом mnpqr на
стержень MN, если усилия, действующие по линиям О А, ОВ и ОС,
равны: Pj = P3=141 и и Ра =
= 100 н.
Направления усилий показаны
на чертеже.
Ответ: 100 н и действует
по ОВ в сторону, обратную Р2.
2.3 (13). Силу в 8 н разложить на две по 5 « каждая. Можно
ли ту же силу разложить на две по 10 я, 15 я, 20 я и т. д.? На две
по 100 ? | |
2.4 (14). По направлению стропильной ноги, наклоненной к горизонту под углом а = 45°, действует сила Q = 250 кГ. Какое усилие 5 возникает при этом по направлению горизонтальной затяжки
и какая сила N действует на стену по отвесному направлению?
Ответ: S = N~ 177 кГ.
2.5 (15). Два трактора, идущих по берегам прямого канала
с постоянной скоростью, тянут барку при помощи двух канатов.
Силы натяжения канатов равны 80 кГ и 96 кГ; угол между ними
равен 60°. Найти сопротивление воды Р, испытываемое баркой при
ее движении, и углы а и которые должны составлять канаты
с берегами канала, если барка движется параллельно берегам.
2.6 (16). Кольца А, В и С трех пружинных весов укреплены
неподвижно на горизонтальной доске. К крючкам весов привязаны
три веревки, которые натянуты и связаны в один узел D. Показания
весов: 8, 7 и 13 кГ. Определить углы аир, образуемые направлениями веревок, как указано на чертеже.
2.7 (17). Стержни АС и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С
действует вертикальная сила Р=1000 и.
Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если
углы, составляемые стержнями со стеной, равны: а = 30° и (3 = 60°.
2.8 (18). На чертежах а, бив, как и в предыдущей задаче,
схематически изображены стержни, соединенные между собой, с потолком и стенами посредством шарниров. К шарнирным болтам В,
F и К подвешены грузы Q=1000 кГ.
Определить усилия в стержнях для случаев:
2.9 (19). Улнчный фонарь подвешен в точке В к середине троса
ЛВС, прикрепленного концами к крюкам А и С, находящимся на
одной горизонтали. Определить натяжения 7j и 7* в частях троса
АВ и ВС, если вес фонаря равен 15 кГ, длина всего троса ABC
равна 20 л и отклонение точки его подвеса от горизонтали BD —
= 0,1 м. Весом троса пренебречь.
2.10 (20). Уличный фонарь весом 30 кГ подвешен к вертикальному столбу с помощью горизонтальной поперечины АС— 1,2 м и
подкоса ВС— 1,5 м. Найти усилия и Si в стержнях АС и ВС,
считая крепления в точках А, В н С шарнирными.
2.11 (21). Электрическая лампа весом 2 кГ подвешена к потолку
на шнуре АВ и затем оттянута к стене веревкой ВС. Определить
натяжения: Та шнура АВ и Тс веревки ВС,
если известно, что угол а = 60°, а угол fJ = 135°.
Весами шнура и веревки пренебречь.
Ответ: 7д=1,46 кГ; Тс~ 1,04 кГ.
2.12 (22). Мачтовый кран состоит из стрелы АВ, прикрепленной шарниром А к мачте,
и цепи СВ. К концу В стрелы подвешен груз
Р = 200 кГ; углы В АС =15°, АСВ=135°.
Определить натяжение Т цепи СВ и усилие Q
в стреле АВ.
Ответ. 7=104 кГ; Q = 283 кГ.
2.13 (23). На одной железной дороге, проведенной в горах, участок пути в ущелье подвешен так, как показано на чертеже. Предполагая подвеску АВ
нагруженной силой Р — 50 т, найти усилия в аержнях АС и AD.
Ответ-. Стержни АС и AD сжаты одинаковым усилием 53,9 г.
2.14 (24). Через два блока А и В, находящихся на одной горизонтальной прямой АВ = 1, перекинута веревка CAEBD. К концам С я D веревки подвешены гири весом р каждая, а к точке Е— гиря
весом Р. Определить, пренебрегая трением на блоках и их размерами,
расстояние х точки Е от прямой АВ в положении равновесия. Весом
веревки пренебречь.
2.15 (25). Груз весом 25 н удерживается в равновесии двумя
веревками, перекинутыми через блоки и натягиваемыми грузами. Один
из этих грузов весит 20 н; синус угла, образуемого соответствующей
веревкой с вертикалью, равен 0,6. Пренебрегая трением на блоках,
определить величину р второго груза и угол а, образуемый второй
веревкой с вертикальной линией. Весом веревок пренебречь.
2.16 (26). К веревке АВ, один конец которой закреплен в точке А,
привязаны в точке В груз Р и веревка BCD, перекинутая через
блок; к концу ее D привязана гиря Q весом 10 кГ. Определить,
пренебрегая трением на блоке, натяжение Т веревки АВ и величину груза Р,
если в положении равновесия углы, образуемые веревками с вертикалью BE,
равны
2.17 (27). Груз Р = 2 т поднимается магазинным краном ВАС
посредством цепи, перекинутой через блок А и через блок D,
который укреплен на стене так, что угол CAD — 30°. Углы между
стержнями крана: ABC = 6Q°, ЛСВ = 30°. Определить усилия Ql и
Q2 в стержнях АВ и АС.
Ответ: Q1= 0; Q2 = — 3,46 т.
2.18 (28). На двух взаимно перпендикулярных гладких наклонных
плоскостях АВ и ВС лежит однородный шар О весом 6 кГ. Определить давление шара на каждую плоскость, зная, что плоскость ВС
составляет с горизонтом угол 60°.
Ответ: ND = 5,2 к Г; TV£=3 кГ.
2.19 (29). К вертикальной гладкой стене АВ подвешен на тросе
АС однородный шар О. Трос составляет со стеной угол а, вес шара Р.
Определить натяжение троса Т и давление Q шара на стену.
2.20 (30). Однородный шар весом 20 кГ удерживается на гладкой
наклонной плоскости тросом, который привязан к пружинным весам,
укрепленным над плоскостью; показание пружинных весов 10 кГ.
Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°.
Определить угол а, составляемый направлением
троса с вертикалью, и давление Q шара на
плоскость. Весом пружинных весов пренебречь.
Ответ, а=60°; Q = 17,3 к Г.
2.21 (31). Шарик В весом Р подвешен к
неподвижной точке А посредством нити АВ
и лежит на поверхности гладкой сферы радиуса г; расстояние точки А от поверхности
сферы AC=d, длина нити АВ = 1, прямая АО
вертикальна. Определить натяжение Т нити и
реакцию Q сферы. Радиусом шарика пренебречь.
2.22 (32). Однородный шар весом 10 н удерживается в равновесии двумя тросами АВ и CD, расположенными в одной вертикальной плоскости и составляющими один с другим угол 150°.
Трос АВ наклонен к горизонту под углом 45°. Определить натяжение тросов.
| |
2-23 (33). Котел с равномерно распределенным по длине весом
р = 4 т и радиусом R= 1 м лежит на выступах каменной кладки.
Расстояние между стенками кладки / = 1,6 м. Пренебрегая трением,
найти давление котла на кладку в точках А и В.
2.24 (34). Вес однородного трамбовочного катка равен 2 г,
радиус его 60 см. Определить горизонтальное усилие Р, необходимое
для перетаскивания катка через каменную плиту высотою 8 см,
в положении, указанном на чертеже.
2.25 (35). Однородный стержень АВ
весом в 16 кГ, длиной 1,2 м подвешен в
.точке С на двух тросах АС и СВ одинаковой длины, равной 1 м. Определить
натяжения тросов.
2.26 (36). Однородный стержень АВ прикреплен к вертикальной
стене посредством шарнира А и удерживается под углом 60° к вертикали при помощи троса ВС, образующего с ним угол 30°. Определить величину и направление
реакции R шарнира, если известно,
что вес стержня равен 2 кГ.
2.27 (37). Верхний конец А
однородного бруса А В, длина
которого 2 л, а вес 5 кГ,
упирается в гладкую вертикальную стену. К нижнему концу В
привязан трос ВС. Найти, на каком расстоянии АС нужно прикрепить трос к стене для того,
чтобы брус находился в равновесии, образуя угол ДАО = 45°. Найти
натяжение Т троса и реакцию R стены.
2.28 (38). Оконная рама АВ, изображенная на чертеже в разрезе,
может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира А и своим нижним
краем В свободно опирается на уступ паза. Найти реакции опор, если дано,
что вес рамы, равный 89 кГ, приложен к середине С рамы и AD—BD.
Ответ: Ял = 70,4 кР, Rb~ 31,5 кГ.
2.29 (39). Балка АВ поддерживается в горизонтальном положении
стержнем CD\ крепления в А, С и D — шарнирные. Определить
реакции опор А и D, если на конце балки действуют вертикальная
сила Р=5 т. Размеры указаны на чертеже. Весом пренебречь.
2.30 (40). Балка АВ шарнирно закреплена на опоре А, у конца В
она положена на катки. В середине балки, под углом 45° к ее оси,
действует сила Р = 2 т. Определить реакции опор для случаев а и б,
взяв размеры с чертежей и пренебрегая весом балки.
2.31 (41). На чертежах изображены балки АВ, удерживаемые
в горизонтальном положении вертикальными стержнями CD. На концах
балок действуют силы F—3 т под углом 60° к горизонту. Взяв
размеры с чертежей, определить усилия S в стержнях CD и давления Q балок па стену, если крепления в А, С и D шарнирные.
Весом стержней и балок пренебречь.
2.32 (42). Электрический провод АСВ натянут между двумя столбами так, что образует пологую кривую, стрела провисания которой
CD=/= 1 м. Расстояние между столбами АВ = / = 40 м. Вес провода Q = 40 кГ. Определить натяжения провода: Тс в средней точке,
Та и Тв на концах.
При решении задачи считать, что вес каждой половины провода
приложен на расстоянии от ближайшего, столба.
2.33 (43). Для рамы, изображенной на чертеже, определить опор-
ные реакции RA и RD, возникающие при действии горизонтальной
силы Р, приложенной в точке В. Весом рамы пренебречь.
2.34. В двигателе внутреннего сгорания площадь поршня равна
200 см2, длина шатуна АВ— 30 см, длина кривошипа ВС = 6 см.
Давление газа в данный момент за поршнем равно Рг = 10 кГ/см*,
перед поршнем Р2 = 2 к Г/см2.
Найти силу Т, действующую
со стороны шатуна АВ на
кривошип ВС, вызванную
перепадом давлений газа, если угол АВС = 90°. Трением между поршнем и цилиндром пренебречь.
Ответ: Т = 1,6 г.
2.35. Воздушный шар,
вес которого равен G, удерживается в равновесии тросом ВС. На шар действуют
подъемная сила Q и горизонтальная сила давления ветра, равная Р.
Определить натяжение троса в точке В и угол а.
| |
2.36 (45). Для сжатия цементного кубика М по четырем граням
пользуются шарнирным механизмом, в котором стержни АВ, ВС и CD
совпадают со сторонами квадрата ABCD, а стержни 1, 2, 3, 4 равны
между собой и направлены по диагоналям того же квадрата; две
равные по модулю силы Р прикладываются к точкам А и D, как
показано на рисунке. Определить
силы Nu iVfc Л/3, Ni, сжимающие
кубик, и усилия Si, S* S3 в стержнях АВ, ВС и CD, если величина
сил, приложенных в точках А и D,
равна 5 т.
2.37 (46). Два трамвайных провода подвешены к поперечным проволочным канатам, из которых каждый прикреплен к двум столбам.
Столбы расставлены вдоль пути на расстоянии 40 м друг от друга.
Для каждого поперечного каната расстояния AK = KL = LB — 5 м;
KC=LD— 0,5 м. Пренебрегая весом проволочного каната, найти
натяжения Ть Тг и Т3 в частях его AC, CD и DB, если вес 1 м
провода равен 0,75 кГ.
2.38 (47). К шарниру А стержневого шарнирного четырехугольника ABDC, сторона CD которого закреплена, приложена сила
Q=100« под углом BAQ = 45°. Определить величину силы R,
приложенной в шарнире В под углом ABR = 30° таким образом,
чтобы четырехугольник ABDC был в равновесии, если углы: CAQ — 90°,
Ответ: R= 163 н.
2.39 (48). Стержневой шарнирный многоугольник состоит из четырех равных стержней; концы А и Е шарнирно закреплены;
узлы В, С и D нагружены одинаковой вертикальной нагрузкой Q.
В положении равновесия угол наклона крайних стержней к
горизонту а=60°. Определить угол {5 наклона средних стержней
к горизонту.
2.40 (50). Для трехшарнирной арки, показанной на черзгеже, определить реакции опор А и В, возникающие при действии горизонтальной силы Р. Весом арки пренебречь.
2.41 (51). Прямолинейный однородный брус АВ весом Р и невесомый стержень ВС с криволинейной осью произвольного очертания
соединены шарнирно в точке В и так же соединены с опорами А
и С, расположенными на одной горизонтали АС. Прямые АВ и
ВС образуют с прямой АС углы а=45°. Определить реакции
опор ,4 и С.
2.42. Наклонная балка АВ, на коней которой действует сила Р,
серединой Ву опирается на ребро консоли балки CD. Определить
опорные реакции, пренебрегая весом балок.
2.43 (52). Дана система, состоящая из четырех арок, размеры
которых указаны на чертеже.
Определить реакции опор А, В, С и D, возникающие при действии
горизонтальной силы Р.
2.44 (53). Кран состоит из неподвижной башни АС и подвижной
фермы ВС, которая имеет шарнир С и удерживается тросом АВ.
Груз Q=40 г висит на иепи, перекинутой через блок в точке В и
идущей к вороту по прямой ВС. Длина АС —ВС. Определить, пренебрегая весом фермы и трением на блоке, натяжение Т троса АВ
и силу Р, сжимающую ферму по прямой ВС, как функции угла АСВ
2.45 (54). Блок С с грузом Р — 18 н
может скользить вдоль гибкого троса
АСВ, концы которого А и В прикреплены к стенам. Расстояние между степами 4 м; длина троса 5 м. Определить
натяжение троса при- равновесии блока
с грузом, пренебрегая весом троса и трением блока о трос.
Натяжения частей троса АС и СВ одинаковы; их величина может быть определена из
подобия треугольника сил и равнобедренного
треугольника, одна из боковых сторон которого есть прямая ВСЕ, а основание лежит на
вертикали BD
Ответ: независимо от высоты BF.
2.46 (55). Для переправы через реку
устроена люлька L, которая посредством
ролика С подвешена к стальному тросу АВ, закрепленному в вершинах башен А к В. Для передвижения ролика С к левому берегу служит
канат CAD, перекинутый через блок А и наматываемый на ворот D;
такой же канат имеется для подтягивания люльки к правому берегу.
Точки А и В находятся на одной горизонтали на расстоянии
/4.6=100 м одна от другой; длина троса АСВ равна 102 м;
вес люльки 5 г. Пренебрегая весом канатов и троса, а также трением
ролика о трос, определить натяжение каната CAD и натяжение троса
АСВ в тот момент, когда длина ветви АС — 20 м.
2.47 (56). Оконная рама АВ, изображенная на чертеже в разрезе,
весом 100 к Г, открывается, вращаясь вокруг горизонтальной оси А,
яри помощи шнура BCD, огибающего блоки С и D. Блок С, размерами которого пренебрегаем, и точка А лежат на одной вертикали;
вес рамы приложен в ее середине; трением также пренебрегаем.
Найти натяжение Т шнура в зависимости от угла <р, образуемого
рамой АВ с горизонталью А/i, предполагая АВ = АС, а также наибольшее и наименьшее значения этого натяжения.
|
|
|
|
|
